Álgebra linear Exemplos

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \frac{2}{3}$ e $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Etapa 4.6

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 4.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Etapa 4.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Etapa 4.10

Some $1$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Etapa 4.11

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{9}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.12

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.12.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.12.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = - 0.4636476$ e $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$